Bài chính: Toán tử tuyến tính

Toán tử tuyến tính trên ket

Một toán tử tuyến tính là một ánh xạ lên một ket và tạo ra một ket (thuộc tính của toán tử tuyến tính). Tức là,nếu A là toán tử tuyến tính còn |ψ⟩ là ket, thì A|ψ⟩ cũng là một ket.

Trong không gian Hilbert n chiều, |ψ⟩ là một vector cột N×1, và A là ma trận vuông N×N với hệ số phức. Ket A|ψ⟩ có thể dùng phép nhân ma trận thông thường để tính.

Những toán tử tuyến tính rất phổ biến trong lý thuyết cơ học lượng tử. Những đại lượng có thể quan sát thường được biểu diễn dưới dạng các toán tử tự liên hợp (như năng lượng hay động lượng), trong khi tiến trình biến đổi lại được biểu diễn bằng toán tử tuyến tính đơn nhất như phép quay hoặc tiến trình thời gian.

Linear operators are ubiquitous in the theory of quantum mechanics. For example, observable physical quantities are represented by self-adjoint operators, such as energy or momentum, whereas transformative processes are represented by unitary linear operators such as rotation or the progression of time.

Toán tử tuyến tính trên bra

Các toán tỉnh trên bra cũng thể nhìn nhận ở bên phải bra. Nếu A là một toán tử tuyến tính còn ⟨φ| là một bra, thì ⟨φ|A cũng là một bra:

( ⟨ ϕ | A ) | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ( A | ψ ⟩ ) {\displaystyle {\bigg (}\langle \phi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )}}

(chính xác đây là hàm hợp) và hay được viết dưới dạng

⟨ ϕ | A | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle }

Tương tự như ket trong không gian n chiều Hilbert, nhưng bra ⟨ ϕ | {\displaystyle \langle \phi |} là một vector hàng 1×N, A vẫn ma trận vuông N×N. Kết quả ⟨φ|A được thực hiện bằng phép nhân ma trận.

Trong trường hợp một vector trạng thái xuất hiện ở cả vế ket và bra,

⟨ ψ | A | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle }

thì biểu diễn trên đưa ra giá trị kỳ vọng, hoặc giá trị trung bình hoặc giá trị ý nghĩa, của lần quan sát biểu diễn bởi toán tử A trên hệ với trạng thái |ψ⟩.

Tích ngoài

Một phương thức tiện lợi để định nghĩa toán tử tuyến tính trên H là tích ngoài: nếu ⟨φ| là bra và |ψ⟩ là ket, thì tích ngoài

| ϕ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle |\phi \rangle \langle \psi |}

là ký hiệu toán tử bậc nhất ánh xạ |ρ⟩ vào ket |φ⟩⟨ψ|ρ⟩ (⟨ψ|ρ⟩ là phép nhân vô hướng của |φ⟩).

Ở không gian hữu hạn chiều, tích ngoài có thể biểu diễn dưới dạng:

| ϕ ⟩ ⟨ ψ | ≐ ( ϕ 1 ϕ 2 ⋮ ϕ N ) ( ψ 1 ∗ ψ 2 ∗ ⋯ ψ N ∗ ) = ( ϕ 1 ψ 1 ∗ ϕ 1 ψ 2 ∗ ⋯ ϕ 1 ψ N ∗ ϕ 2 ψ 1 ∗ ϕ 2 ψ 2 ∗ ⋯ ϕ 2 ψ N ∗ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ϕ N ψ 1 ∗ ϕ N ψ 2 ∗ ⋯ ϕ N ψ N ∗ ) {\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |{\doteq \!\,}{\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}

Tích ngoài có thể được dùng để định nghĩa phép chiếu. Ket |ψ⟩ với định mức 1, thì phép chiếu vuông góc vào không gian con tạo bởi |ψ⟩ là

| ψ ⟩ ⟨ ψ | . {\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |.}

Toán tử liên hợp Hermit

Bài chính: Liên hợp Hermit

Ket có thể chuyển sang dạng bra và ngược lại. Phần tử từ không gian kép tương ứng A|ψ⟩ là ⟨ψ|A†, A† ký hiệu liên hợp Hẻrmit (gọi tắt là liên hợp) của toán tử A.

| ϕ ⟩ = A | ψ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle } khi và chỉ khi ⟨ ϕ | = ⟨ ψ | A † {\displaystyle \qquad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }}

Và nếu A biểu diễn dưới dạng ma trận N×N, thì A† được gọi là chuyển vị liên hợp.

Toán tử tự liên hợp là toán tử thỏa mãn A = A†, đóng vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử. Mọi quan sát đều là toán tử tự liên hợp.A là toán tử tự liên hợp thì ⟨ψ|A|ψ⟩ là một số thực. Do đó giá trị kỳ vọng của quan sát cũng là thực.